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Zahlen, Zählen und Mathematik
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Die folgenden kurzen Texte sollen den Zugang zur
Mathematik erleichtern und das Verständnis für diese Wissenschaft wecken.
Dies ist mindestens ebenso wichtig wie die Übung in der Lösung mathematischer
Aufgaben.
Dabei wurde versucht, die Sachen so einfach wie möglich darzustellen, jeden
gedanklichen Schritt nachvollziehbar zu formulieren
und alles so zu erklären, dass man es auch ohne besondere Fachkenntnisse verstehen
kann.
Inhalt:
Zahlen, Ziffern und Zahlensysteme
Mengen mit einer bestimmten Anzahl von Elementen
Was zählen die Zahlen der reinen Mathematik?
Die Nachteile unsystematischer Zahlwörter
Eine Definition der Zahlwörter des Dezimalsystems
Ein Schema, um die Zahlen des Dezimalsystems zu erzeugen
Die Zahlenfolge als universell einsetzbares Ordnungsprinzip
Zahlen für die Festlegung und Einhaltung einer bestimmten Ordnung
Zahlen zur Beschreibung einer Reihenfolge
Textanfang:
Zahlen, Ziffern und Zahlensysteme
Mit der (deutschen) Sprache lernen wir
Wörter wie "ein", "zwei" oder "drei" auszusprechen und
in Sätzen zu verwenden wie: "Mein Auto hat vier Räder", "Noch fünf Sekunden bis zum Start", "Der Tisch ist zwei Meter
lang" oder "In der Schale waren heute morgen
zehn Mandarinen".
Wir benötigen diese Art von Wörtern, um z. B. die
Frage: "Wie viele Mandarinen waren heute morgen in der Schale?"
genau beantworten zu können. Dies sind Fragen nach der Anzahl
der jeweils benannten Dinge wie z. B. "Mandarinen in der Schale". Wenn
geantwortet wird: "In der Schale waren ziemlich viele Mandarinen", so
bleibt das ungenau. Die genaueste und damit informationsreichste Antwort auf
Fragen nach der Anzahl ("wie viele?") geben Zahlen: "Es waren
zehn Mandarinen in der Schale." Man findet die gesuchte Zahl,
indem man die betreffenden Dinge zählt.
Im Vorangegangenen wurden die
Zahlen als Zahlwörter ("zehn") geschrieben, also mit den Buchstaben des
Alphabets so wie andere Wörter auch. Man kann Zahlen jedoch auch unter
Verwendung von Ziffern ("1", "0") schreiben. Dies hat
erhebliche Vorteile: Die Ziffernschrift ist sehr viel kürzer und sie ist
international verständlich. Außerdem lassen sich Berechnungen - bei Verwendung
geeigneter Zahlensysteme - in der Ziffern-Schreibweise leichter schematisieren
und so vereinfachen.
Die Wörter "Ziffer" und "Zahl"
werden manchmal als austauschbar behandelt. Sie bedeuten jedoch etwas
Verschiedenes. Die Ziffern entsprechen den Buchstaben in einem Text, während die
Zahlen den Wörtern entsprechen. Zahlen werden durch die Aneinanderreihung von
Ziffern gebildet, so wie Wörter durch die Aneinanderreihung von Buchstaben
gebildet werden.
Die Verwechslung von "Ziffer" und "Zahl" entsteht wahrscheinlich daraus, dass im Dezimal-System die einstelligen Zahlen von 0 bis 9 genauso
gesprochen und geschrieben werden
wie die Ziffern, aus denen sie gebildet werden. So wird die Zahl
"5" durch die Ziffer "5" ausgedrückt und die Zahl "9"
durch die Ziffer "9". Aber es gibt keine Ziffer, die die Zahl "10" bedeutet. Die
Zahl "10" wird stattdessen durch Aneinanderreihung der beiden Ziffern "1" und
"0" gebildet.
So wie es nun unterschiedliche Arten von Buchstaben gibt, z. B. lateinische (A -
B - C) und
griechische (α - β - µ - π), so gibt es auch unterschiedliche Arten von Ziffern, z. B. arabische
(1 - 2 - 3) und römische (I - V - X). Heute sind international die - ursprünglich aus Indien stammenden
- arabischen
Ziffern 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 -
9 gebräuchlich.
So wie es verschiedene Methoden gibt, um die gesprochenen Wörter zu schreiben (z. B.
Bilderschriften,
wie die chinesischen Schriftzeichen und die ägyptischen Hieroglyphen, oder
Buchstabenschriften, wie die lateinische Schrift), so gibt es auch verschiedene
Methoden, um
Zahlwörter zu bilden und zu schreiben.
Es gibt zum einen Additionssysteme. Bei
Additionssystemen werden die
größeren Zahlen durch die Wiederholung
kleinerer Zahlen gebildet. So wird z. B. im römischen Zahlensystem die Zahl
"XXX" ("30") durch
die mehrfache Wiederholung der Zahl "X" ("10") gebildet.
Das einfachste Additionssystem zum Schreiben von Zahlen kommt mit nur einer
Ziffer aus, dem senkrechten Strich: "|" (1). Alle anderen Zahlen werden hier
nur durch die entsprechend häufige Wiederholung der
Zahl | ausgedrückt. So wird die Zahl "4" in der Strichziffernschrift durch "| | | |"
ausgedrückt.
Um die Zahlenschrift übersichtlicher zu machen, wird manchmal jeder fünfte
Strich quer über die vorangehenden vier Striche gemacht. Dadurch erhält man
Fünfer-Blocks, so dass z. B. die Zahl "17" so aussieht: "
||||
||||
|||| || ".
Einen andern Weg, um Zahlen unter Verwendung von Ziffern schreiben, gehen die
Stellenwertsysteme
(auch "Positionssysteme" genannt). Hier werden die
verschiedenen Zahlen durch eine unterschiedliche Anordnung der Ziffern an
den unterschiedlichen "Stellen" ("Positionen") einer Reihe gebildet.
Das heute allgemein übliche
Dezimalsystem (von lateinisch "decem" = zehn) ist ein solches Stellenwertsystem.
Im Dezimalsystem werden sämtliche Zahlen durch unterschiedliche horizontale Aneinanderreihung der Ziffern 0 - 1 - 2
- 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 und 9 gebildet. Dabei kann eine Ziffer auch
mehrfach
auftreten kann, wie z. B. die "3" bei der Zahl "353". Je nachdem, an welcher
Stelle in der Reihe
sie steht, bekommt die Ziffer einen bestimmten Wert. Wie sich der Wert einer Ziffer
ändert, wenn sie an eine andere Stelle in der Ziffernreihe rückt, soll am
Beispiel der Ziffer "3" veranschaulicht werden. Dabei wird von rechts
begonnen, so wie bei der arabischen Schrift, die ebenfalls von rechts nach links
gelesen wird.
Steht die Ziffer "3" an der 1. Stelle von rechts, so zählt sie
einmal den einfachen
Zahlenwert (3 x 1 = 3).
Steht sie an der 2. Stelle von rechts, so zählt sie den zehnfachen
Zahlenwert (3 mal 10 = 30).
Steht sie an der 3. Stelle von rechts, so zählt sie zehnmal den
zehnfachen Zahlenwert (3 mal 10 mal 10 = 300).
Steht sie an der 4. Stelle von rechts, so zählt sie zehnmal den
zehnmalzehnfachen Zahlenwert (3 mal 10 mal 10 mal 10 = 3000).
usw. usf.
Mit jeder Verschiebung der Ziffer um eine Stelle nach links verzehnfacht sich
also der Zahlenwert, den die Ziffer bedeutet. So setzt sich die Zahl 3333 zusammen aus 3 Einern, 3 Zehnern, 3 Hundertern und 3
Tausendern.
Eine Zahl wie 7569 setzt sich demnach aus den folgenden
Zahlen zusammen:
| 0 | 0 | 0 | 9 | 9 x 1 | neun | |
| 0 | 0 | 6 | 0 | 6 x 10 | sechzig | |
| 0 | 5 | 0 | 0 | 5 x 10 x 10 | fünfhundert | |
| 7 | 0 | 0 | 0 | 7 x 10 x 10 x 10 | siebentausend | |
| 7 | 5 | 6 | 9 | zusammen |
An der Tabelle wird deutlich, welche Möglichkeiten das in Ziffern
geschriebene Dezimalsystem für das Rechnen bietet. Wenn man darauf achtet, dass die Stellen
richtig untereinander stehen und die Ziffern genau an die jeweiligen Stellen
geschrieben werden (dabei
hilft das karierte Papier der Rechenhefte), so wird auch das Zusammenzählen
mehrerer großer Zahlen zu einer kinderleichten Aufgabe - wenn der Akku des
Rechners einmal leer ist.
Bemerkenswert ist außerdem die enorme Vereinfachung durch ein Stellenwertsystem wie
das Dezimalsystem: Mit den 10 Ziffern von 0 bis 9 kann man beliebig große
Zahlen schreiben. Durch die unterschiedliche Anordnung der
Ziffern 0 bis 9 in einer Reihe mit nur 4 Stellen kann man z. B.
10.000 verschiedene Zahlen bilden.
Das Dezimalsystem ist nicht das einzige Stellenwertsstem.
So wie es verschiedene Sprachen gibt, die mit Buchstaben geschrieben werden, so gibt es
nun auch verschiedene
Stellenwertsysteme. Neben dem Dezimalsystem gibt es z. B. für Computer das
Dualsystem (auch "binäres System" genannt), das mit den
beiden Ziffern 0 und 1 auskommt.
Die verschiedenen Zahlensysteme sind - ähnlich wie die Sprachen - im Prinzip
ineinander übersetzbar. So bedeutet "21" im Dezimalsystem dasselbe wie "XXI" im
römischen Zahlensystem.
Mengen mit einer bestimmten Anzahl von Elementen
Wir nehmen Gebilde wahr wie z. B. das folgende, zugegebenermaßen etwas seltsame Gebilde zwischen den geschweiften Klammern, das ich mit der Tastatur meines Computers erzeugt habe:
{ v r § v § § v r }
Zur Unterscheidung von anderen Gebilden nenne ich dies Gebilde "M".
Wie man sehen kann, besteht M aus mehreren Teilen, die man voneinander
unterscheiden und einzeln beschreiben kann. Weiterhin kann man erkennen, dass es sich
bei allen Teilen um Zeichen handelt. M ist also eine Zeichenmenge, die
eine bestimmte Anzahl von Zeichen enthält.
Diese Zeichen kann man
abzählen (ein Zeichen und noch ein Zeichen und ...).
Dagegen ergibt es keinen Sinn, wenn man sagt: "eine Luft", "ein Gelb" oder "ein
Sand und noch ein Sand". Man kann zwar sagen: "Auf dem roten LKW ist viel Sand" oder "Auf dem
schwarzen LKW ist wenig Sand". Man kann auch sagen: "Auf dem roten LKW ist mehr
Sand als auf dem schwarzen LKW" aber man kann nicht sagen, wie viel Sand auf dem
roten LKW oder auf dem schwarzen LKW ist und man kann nicht sagen, wie groß der
Unterschied ist. Dies kann man nur bei Mengen, die aus abzählbaren Elementen wie
den obigen Zeichen bestehen.
Man kann nun die Elemente, die die Menge M ausmachen, nach
unterschiedlichen Gesichtspunkten zusammenfassen und so aus der Menge M
verschiedene
Teilmengen
bilden.
Wenn man z. B. diejenigen Elemente zusammenfasst, die wie
v aussehen, erhält man die Teilmenge:
{ v v v
}.
Wenn man diejenigen Elemente zusammenfasst, die wie § aussehen, so erhält
man die Teilmenge: { § § § }.
Wenn man diejenigen Elemente zusammenfasst, die wie r aussehen, erhält
man die Teilmenge: { r r }.
Und wenn man all diejenigen Elemente zusammenfasst, die Buchstaben sind, so erhält
man die Teilmenge: { v r v v r }.
Man kann nun fragen:
Was
unterscheidet { v v v } von { r r }?
Zum einen unterscheidet sich ein v von einem r durch seine andere
Form.
Die Elemente sind also unterschiedlich.
Aber { v v v } und { r r } unterscheiden sich noch in einer
anderen Hinsicht.
Umgangssprachlich kann man diesen
Unterschied
auf sehr verschiedene Weise
ausdrücken. Man kann sagen:
"{ v v v }
besteht aus mehr Elementen / enthält mehr
Elemente
als
{ r r }" oder
"Die Anzahl
der Elemente
in { v
v v }
ist
größer als die
Anzahl der Elemente in { r r }" oder
"Das Element
v
ist in { v v v
}
häufiger
/
kommt öfter vor
als das
Element r in {
r r }".
In der Mengenlehre benutzt man hierfür den (zugegebenermaßen etwas gewöhnungsbedürftigen) Begriff
der
"Mächtigkeit"
einer Menge.
In Bezug auf { v v v } und { r
r } sagt man: "Die Menge { v v v } ist
von
größerer Mächtigkeit als die Menge
{ r r }".
In Bezug auf { v v v } und { § § § } sagt man: "Die Mengen { v v v } und { § § § } sind gleich mächtig".
Die Mächtigkeit einer bestimmten Menge M
entspricht der Anzahl der Mengenelemente von M.
Die Mächtigkeiten bilden somit die Zahlen
oder genauer die Kardinalzahlen (von lateinisch "cardinalis" = wichtig, Haupt-).
Um die verschiedenen Mächtigkeiten unmissverständlich bezeichnen zu
können, muss man für jede mögliche Anzahl von Mengenelementen eine bestimmte Zahl haben.
Im Alltagsleben ist die Mächtigkeit einer Menge in den verschiedensten
Zusammenhängen von großer Bedeutung. Es macht eben einen Unterschied, ob
Michaela 10 € Taschengeld bekommt oder 100 € oder ob im Fußballspiel
zwischen Real Madrid und Bayern München die Bayern 3 Tore geschossen haben
und die Spanier 1 oder umgekehrt.
Was zählen die Zahlen der reinen Mathematik?
Wie wir gesehen haben, drücken Zahlen die Anzahl der Elemente
einer Menge aus. So benennen wir die Anzahl der Zeichen zwischen den folgenden
geschweiften Klammern
{ e ß @ % & ( / = } mit der Zahl "8". Die einzelnen
Zeichen sind hier die Elemente. Sie bilden zusammengenommen die
Menge derjenigen Zeichen, die sich zwischen den geschweiften Klammern befinden.
Ein Element, auf das diese Beschreibung zutrifft, bildet die Einheit, in der gezählt
wird. In unserm Fall lautet die Beschreibung
"Zeichen in dieser geschweiften Klammer".
Was 8 Zeichen sind, ist
wohl ohne weiteres verständlich. Aber was bedeutet die "8" in der
Gleichung:
"3 + 5 = 8"? Hier bekommt die Zahl "8"
plötzlich etwas Geheimnisvolles, weil sie sich scheinbar auf nichts bezieht.
Dies ist der Bereich der "reinen" Mathematik, die scheinbar von allem
und nichts handelt,
im Unterschied zur angewandten Mathematik, bei der es immer um irgendwelche
fassbaren Dinge geht.
Weil Zahlen das Ergebnis einer Zählung sind und weil man immer irgendwelche
Elemente zählt, müssten sich Zahlen eigentlich immer auf irgendwelche Elemente
beziehen. Wir
sprechen im Alltag z. B. von
"3 Apfelsinen" oder "5 Kiwis". Aber worauf beziehen sich die
"8" und die beiden andern Zahlen "3" und "5" in der Gleichung "3 + 5 = 8"? Welche Elemente
welcher Mengen wurden hier gezählt?
Offenbar darf man in die Gleichung nicht beliebige Elemente einsetzen. Die Frage: "Wie
viel sind 3 Apfelsinen und 5 Kiwis?" ist sinnlos. 3
Apfelsinen sind und bleiben 3 Apfelsinen und 5 Kiwis.
Sie können keine gemeinsame Menge bilden, weil es sich nicht um Elemente
handelt, die in derselben Weise beschrieben werden.
Aber, so könnte jemand einwenden, man könnte doch die 3 Apfelsinen und die 5
Kiwis in ein und derselben Weise als "Früchte" beschreiben und sagen: "Wenn ich
3 Apfelsinen habe und 5 Kiwis, dann habe ich 8 Früchte".
Dieser Satz ist sicherlich nicht falsch. Er setzt jedoch voraus, dass die beiden
Aussagen "Apfelsinen sind Früchte" und "Kiwis sind Früchte" wahr sind.
Ob dies der Fall ist, kann
jedoch die Mathematik nicht beantworten. Solche Fragen behandelt die
Botanik. Deshalb sind Gleichungen mit unterschiedlichen Einheiten wie z. B. "3
Apfelsinen + 5 Kiwis = 8 Früchte" in der Mathematik unzulässig, auch wenn sie
wahr sein können. Wenn jemand behauptet: "Wenn ich 3 Apfelsinen habe und 5
Kartoffeln, dann habe ich 8 Früchte", so kann der Mathematiker nur sagen: "Ob
das stimmt, kann die Mathematik allein nicht sagen, dazu muss auch die Botanik
befragt werden." Die Botanik wird sagen: "Die Behauptung ist falsch, denn Kartoffeln sind nicht
die Früchte sondern die Knollen der Kartoffelpflanze."
Ähnliches gilt für die Gleichung: "200 Gramm Zucker + 300 Gramm Zucker
= 1
Pfund Zucker". Auch hier wird vorausgesetzt, dass der Aussage gilt: "500 Gramm
= 1 Pfund".
Pfund und Gramm sind zwar unterschiedliche Elemente, doch sie lassen sich mit
Hilfe der zweiten Gleichung
ineinander
umrechnen.
Nur wenn die Elemente "einheitlich" beschrieben sind und
damit eine bestimmte Menge bilden, erhält man Einheiten, mit denen man rechnen kann.
Rechnen setzt also immer eine "Einheit" voraus, in der gerechnet wird.
Das bedeutet im Übrigen nicht, das es sich bei den Elementen einer Menge
immer um einander ähnliche Dinge handeln muss, wie z. B. "Äpfel". Die Elemente
müssen sich nur in der Hinsicht gleichen, in der sie beschrieben werden.
Wenn ich z. B. die Elemente einer Menge mit den Worten beschreibe "ein Gegenstand, der
sich jetzt in diesem Koffer befindet", so können sehr verschiedenartige Dinge
Elemente dieser Menge sein: eine Zeitung, ein Stück Seife, ein Ausweis
und eine Banane.
Womit rechnen aber nun Aussagen der reinen Mathematik wie: "3 + 5 = 8", bei
denen keinerlei Einheit angegeben wird?
Sehen wir uns dazu einmal mehrere Ergebnisse der angewandten Mathematik an, bei
denen mit
unterschiedlichen natürlichen Einheiten (Kiwis, Äpfel und Gurken) gerechnet
wird:
3 Kiwis und
5
Kiwis ergeben zusammen 8 Kiwis.
3 Äpfel und
5
Äpfel ergeben zusammen 8 Äpfel.
3 Gurken und
5
Gurken ergeben zusammen 8 Gurken.
Wie man sieht, ergibt sich zahlenmäßig
immer das gleiche Resultat, ganz gleich, um welche Art von Einheit es sich
handelt.
Ob es sich bei den Einheiten um Kiwis, Apfelsinen oder Gurken handelt,
ist für das Ergebnis offenbar völlig gleichgültig.
Mit dieser bahnbrechenden Erkenntnis entsteht nun die Möglichkeit einer reinen
Mathematik. Man braucht nicht getrennte Rechenlehren für Kiwis, Äpfel, Gurken
oder Kartoffeln zu entwickeln, sondern man kann von der faktischen Beschaffenheit
der verschiedenen empirischen Einheiten völlig absehen. Stattdessen kann man mit
einer rein theoretisch geschaffenen mathematischen Einheit
rechnen. Diese mathematische Einheit kann für alle Dinge stehen, die zum einen
abzählbar sind und die zum andern in irgendeiner Hinsicht "einheitlich" sind, d.
h. dass auf sie eine bestimmte Beschreibung zutrifft.
Anstelle der obigen getrennten 3 Berechnungen benötigt man demnach nur
noch eine Berechnung:
3 Einheiten und 5 Einheiten ergeben zusammen 8 Einheiten.
Um der Einfachheit willen kann man nun vereinbaren, den Bezug
auf die theoretische Einheit nicht
bei jeder Zahl wieder aufs Neue anzugeben sondern nur noch zu schreiben "3
und 5 ergeben zusammen
8", oder in mathematischer Kurzschrift:
"3 +
5 =
8".
Damit sind die Berechnungen enorm vereinfacht. Allerdings
ist bei der Anwendung der Mathematik auf reale Vorgänge nun Vorsicht geboten. Wenn man
eine abstrakte mathematische Gleichung auf reale Dinge anwenden will, muss man
deshalb zuvor
immer prüfen, ob es sich
bei diesen Dingen um echte Einheiten handelt, also um abzählbare Elemente, auf die dieselbe Beschreibung zutrifft.
Damit ist das Mysteriöse der abstrakten Zahlenwelt hoffentlich aufgeklärt.
Und man versteht etwas besser, warum Betrand Russell die Mathematik einmal
spaßig als das Gebiet bezeichnete, in dem wir nie wissen, worüber wir reden,
und wo wir nie wissen, ob das, was wir sagen, auch wahr ist.
Die Nachteile unsystematischer Zahlwörter
In einem fernen
Land mit dem schönen Namen "Onezal" kannten die Leute keine
Zahlen und konnten deshalb auch nicht zählen. Stattdessen benannten die Onezaler die unterschiedlichen Häufigkeiten
von Dingen
mit bestimmten Wörtern. Diese Häufigkeitswörter endeten immer mit
"ff".
Zu: ||| sagten sie:
"baff senkrechte Striche".
zu: 0 0 0
sagten sie: "baff Eier".
zu: - - - - - sagten sie: "eff
waagerechte Striche".
zu: $$
sagten sie: "aff Dollar".
zu: §§§§
sagten sie: "zuff Paragraphen".
zu: *
sagten sie: "xoff Sternchen".
zu: ~~
sagten sie: "aff Wellen" usw. usf.
Die Beschreibung von
Häufigkeiten in der Sprache der Onezaler war eine Kunst, und nur die klügsten und die
gebildetsten Onezaler
konnten z. B. angesichts dieser vielen Fragezeichen "????????????????????" das
richtige Häufigkeitswort nennen, nämlich "poff". Die meisten konnten gerade noch erkennen, dass es sich
bei "/ / / / / / /" um kaff Schrägstriche handelte. Waren die
Dinge häufiger, so sprachen sie immer nur von "vielen" oder "sehr vielen" Dingen.
Dieser
Zustand war sehr unschön, denn immer wieder gab es Missverständnisse und
Verluste wegen der ungenauen und mangelhaften Beschreibung von Häufigkeiten. Es wurden mal zu
viel und mal zu wenig Brote gebacken, es wurden mal zu viel und mal zu wenig
Wasserkrüge am Brunnen gefüllt. Angesichts dieser Misere war es ein denkwürdiger
Tag, als der Schuhmacher von Onezal auf
der jährlichen Versammlung aller Onezaler das Wort ergriff und einen kühnen Vorschlag
machte:
"Onezaler!", rief er. "Wir sind alle dafür, dass die ständigen
Schwierigkeiten mit den Häufigkeiten endlich
aufhören. Nachdem ich lange darüber nachgedacht habe, kann ich Euch heute auch sagen, wie das gehen kann."
"Oho!" riefen die Onezaler. "Das wollen wir hören!"
"Ganz einfach",
sagte der Schuhmacher. "Dazu müssen wir die Häufigkeitswörter
so anordnen, dass das Wort für die kleinste Häufigkeit - also xoff - den Anfang
macht und die Wörter für die andern Häufigkeiten der Größe nach in einer Reihe folgen. Also:
xoff - aff - baff - zuff - eff - roff - kaff - zoff - schaff - gaff und so weiter. Das mag
erstmal genügen. Diese Reihenfolge der Häufigkeitswörter muss sich jeder nun ganz
fest einprägen. Die Kinder sollten die
Reihenfolge bereits im Kindergarten auswendig lernen!"
"Aber wozu soll das denn gut sein?" fragten die Leute den
Schuhmacher etwas
ungeduldig.
"Warum sollen wir denn damit unser Gedächtnis auch noch belasten?"
"Lasst mich erklären, wozu das gut ist. Angenommen, jemand ist angesichts eines
Haufens von Kokosnüssen unsicher über das richtige Häufigkeitswort. Jetzt
kann er das Problem auf die folgende Art und Weise lösen: Er nimmt die
Kokusnüsse einzeln und nacheinander vom Haufen und legt sie mit etwas Abstand
daneben. Bei
jeder Nuß, die er nimmt, sagt er - beginnend mit "xoff" und genau in der festgelegten Reihenfolge
-
jeweils ein Häufigkeitswort. Nach xoff also aff, baff, zuff, eff, roff, kaff, zoff, schaff, gaff usw. Das Wort, das er bei der
letzten Nuss ausspricht, gibt dann die genaue Häufigkeit der Kokosnüsse
an. Wenn jemand das nicht glaubt, so kann jeder das Ganze ohne weiteres für sich wiederholen. Wenn er keine Nuss
auslässt, wenn er keine Nuss mehrfach nimmt und wenn er die Reihenfolge der
Häufigkeitswörter genau einhält, so wird er immer wieder dasselbe Häufigkeitswort als Ergebnis
erhalten."
Die Onezaler sahen sich erst etwas verdutzt an. Dann riefen
sie: "Das wollen wir doch gleich einmal ausprobieren. Hoch lebe unser Schuhmacher!"
Die Onezaler sollen später den Namen ihres Landes in "Habezal" geändert haben.
Eine Definition der Zahlen des Dezimalsystems
Im Folgenden soll die Erzeugung der Zahlen des Dezimalsystems demonstriert werden.
Aus praktischen Gründen nehmen wir dazu Strich-Mengen, denn
Striche sind unterscheidbare Dinge und benötigen nur wenig Platz.
Man kann eine vollständige, nach zunehmender Mächtigkeit geordnete Aufstellung aller
möglichen Mengen von senkrechten Strichen dadurch erzeugen, dass man -
ausgehend vom Fall ohne Strich - jeweils immer einen Strich hinzufügt.
Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden die dabei entstehenden Strich-Mengen durch ein Komma voneinander getrennt.
Man erhält dann - links beginnend - die folgende, nach wachsender Mächtigkeit geordnete vollständige Aufstellung
aller möglichen Strich-Mengen:
, , | , || , ||| , |||| , ||||| , |||||| , ||||||| , |||||||| , ||||||||| , ||||||||||| , |||||||||||| , usw. usf.
Mit jeder weiteren Strich-Menge kommt also ein Strich bzw. ein Element hinzu.
Jede Strich-Menge - außer der ersten - enthält genau ein Element mehr als die vorhergehende Strichmenge und
ist insofern mächtiger als diese. Die Strichmengen sind dadurch vollständig und
sie sind nach ihrer
Mächtigkeit geordnet.
Für jede mögliche Anzahl von Strichen benötigt man nun ein
eigenes Symbol,
um alle möglichen Mächtigkeiten dieser Strichmengen unmissverständlich benennen zu können.
Wie wir oben gesehen haben, werden im Dezimalsystem die Zahlen durch die unterschiedliche
Aneinanderreihung der
Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 in erzeugt, z. B. "459073" oder
"129"
(Der Einfachheit halber werden im Folgenden nur zweistellige Ziffernfolgen zur
Veranschaulichung benutzt. Man könnte dasselbe jedoch auch anhand von
Ziffernfolgen mit beliebig vielen Stellen durchführen.)
Als erstes bildet man alle möglichen zweistelligen
Kombinationen der
Ziffern 0 bis 9 in einer horizontalen Reihe. Dabei kann eine Ziffer auch mit
sich selbst kombiniert werden (z. B. "88") . Jede dieser Kombinationen schreibt
man auf einen eigenen Zettel. Dabei darf jede Kombination nur einmal auf einen Zettel
geschrieben werden. Außerdem darf keine mögliche Kombination ausgelassen werden. Wir bekommen so einen großen Zettelhaufen. Darin befinden sich z. B.
die
Zettel mit den zweistelligen Ziffernkombinationen "84", "10", "05" und "33".
Anschließend sortiert man die Zettel nach der linken Ziffer in kleinen Haufen. Zettel, die
dieselbe linke Ziffer haben, werden zusammengefasst und bilden jeweils einen
kleinen Zettelhaufen. Entsprechend der linken Ziffer gibt es einen 3er-Haufen, einen
8er-Haufen, einen 2er-Haufen usw.
Diese Haufen ordnet man nun von links
nach rechts in derselben Reihenfolge wie die feste Ziffernfolge (also 0, 1, 2,
..., 9.)
Dann ordnet man die Zettel jedes kleinen Haufens nach der rechten Ziffer
entsprechend der festen Ziffernfolge.
Damit hat man eine
Reihenfolge von Ziffernkombinationen, die links mit "00", "01" beginnt und rechts mit
"98",
"99"
endet.
Um das Ganze übersichtlicher zu gestalten, kann man die entstandene lange
Zettelreihe in
Tabellenform bringen. Man beginnt mit dem Zettel "00" und bewegt sich nach
rechts. Immer wenn sich die linke Ziffer
ändert, beginnt man links darunter eine neue Zeile.
Damit erhält man die folgende Tabelle:
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Man kann nun jeder Anzahl von Strichen eine bestimmte
Ziffernkombination
zuordnen.
Der anfänglichen leeren Strich-Menge " " wird die Ziffernkombination "00" zugeordnet.
Der folgenden Strich-Menge "|" wird die Ziffernkombination "01" zugeordnet.
Der folgenden Strich-Menge "||" wird die Ziffernkombination "02" zugeordnet
und so weiter in der
angegebenen Reihenfolge bis zur letzten Ziffernkombination "99".
Damit haben wir für jede Anzahl von Strichen ein besonderes Symbol, um diese
Anzahl unmissverständlich zu benennen.
Die aus Ziffern gebildeten Symbole
kann man "Zahlen" nennen, denn sie ermöglichen das Zählen und das Festhalten von
Ergebnissen einer Zählung.
So ist z. B. der Ausdruck "14 Striche" gleichbedeutend mit dem Ausdruck "Anzahl
der in der Menge "||||||||||||||"
enthaltenen Striche".
So wie die Strichmengen mit jeder Zuordnung um ein Element mächtiger werden, so
werden die zugehörigen Zahlen um eine Einheit größer.
Da man anstelle der Striche beliebige andere abzählbare
Dinge als Mengenelemente nehmen könnte, bezeichnet jede Zahl
eine bestimmte Mächtigkeit beliebiger Mengen aus beliebigen Elementen.
Entsprechendes lässt sich nicht nur für zweistellige Ziffernfolgen durchführen
sondern ebenso für Ziffernfolgen mit beliebig vielen Stellen,
so dass beliebig mächtige Mengen mit Zahlen bezeichnet werden können.
Der Einfachheit halber wird schließlich noch vereinbart, dass man bei den Zahlen
die vorangehende Nullen weglassen darf.
Anstatt zu schreiben: "0000000105 + 0000000002 = 0000000107"
schreibt man einfach: "105 + 2 = 107".
Nur bei der Null schreibt man immer die Ziffer "0",
Ein Schema, um die Zahlen des Dezimalsystems zu erzeugen
Das heute allgemein übliche Zahlensystem benutzt die Ziffern
"0" - "1" - "2" - "3" - "4" - "5" - "6" - "7" - "8" - "9" zur Bildung aller Zahlen. Da es sich um
zehn Ziffern handelt und "zehn" auf lateinisch "decem" heißt, wird dies System
"Dezimalsystem" genannt.
Um die Zahlen des Dezimalsystems in der Reihenfolge ihrer Größe zu bilden, muss
man sich eigentlich nur diese Ziffern und deren Reihenfolge merken. Man muss also z. B.
wissen, dass die Ziffer "6" als "sechs" bezeichnet wird und dass
die Ziffer "6" nach der Ziffer "5" folgt. (Vorweg muss
allerdings klar sein, ob die gebildeten Zifferfolgen vom rechts nach links oder
von links nach rechts gelesen werden soll.)
Als Ausgangspunkt für die Erzeugung des dezimalen Zahlensystems nimmt man eine beliebig lange Folge der Ziffer
"0": "...
00000". Dies ist die Zahl "null" bzw. "0". Die Zahl "0" bedeutet, dass sich in der betreffenden Menge
kein zu zählendes Element befindet.
Man bildet nun die nächste Zahl und alle folgenden Zahlen, indem man
jeweils die ganz rechts stehende Ziffer durch die in der Reihenfolge nachfolgende Ziffer ersetzt.
In diesem Fall ist die ganz rechts stehende Ziffer eine "0". Diese Ziffer ersetzt
man durch die nachfolgende Ziffer, die "1". So gelangt man von der
Ziffernfolge
"...
00000" zur Ziffernfolge "... 00001". Die letztere schreibt man
unter die erstere.
"...00000" - "null"
"...00001" - "eins"
Als nächstes ersetzt man die ganz rechts stehende Ziffer "1" durch die
nachfolgende Ziffer "2" und erhält so die Ziffernfolge "...00002" für die Zahl
"zwei". Das gleiche macht man mit den folgenden Ziffern und erhält so die
folgenden Zahlen:
"...00000" - "null" (keines)
"...00001" - "eins"
"...00002" - "zwei"
"...00003" - "drei"
"...00004" - "vier"
"...00005" - "fünf"
"...00006" - "sechs"
"...00007" - "sieben"
"...00008" - "acht"
"...00009" - "neun"
Mit der Bildung dieser
Zahlen sind die vorhandenen Ziffern erstmal aufgebraucht.
Bei der Erzeugung der auf die "9" folgenden Zahl gibt es deshalb eine Besonderheit:
Man fängt zwar wieder von vorn an mit der Ziffer "0"
an und ersetzt in der Ziffernfolge "...00009" die Ziffer ganz rechts
(die "9") durch eine "0".
Weil man dadurch jedoch dieselbe Ziffernfolge "...00000" erhalten würde, die bereits für
die Zahl "Null" verwendet wird, ersetzt man zur Unterscheidung außerdem noch die Ziffer
unmittelbar links neben der für die "9" eingesetzten "0"
(das ist ebenfalls eine "0") durch deren nachfolgende Ziffer
(die Ziffer "1").
Die Zahl nach der "neun", die "zehn", besteht dann aus der Ziffernfolge
"...000010". Dies schreibt man unter die Ziffernfolge der "neun"..
Nun fährt man in der bisherigen Weise fort und ersetzt dazu jeweils in der
zuletzt gebildeten Zifferfolge die Ziffer rechts
außen durch die nachfolgende Ziffer. Damit erhält man die folgenden weiteren Zahlen:
"... 000011" - "elf"
"... 000012" - "zwölf"
usw. bis
"... 000019" - "neunzehn".
Da die Ziffern bei der "neunzehn" wieder aufgebraucht sind, fängt man wieder mit der "0" an
und ersetzt die rechts außen stehende Ziffer durch die folgende Ziffer. Um keine
Ziffernfolge doppelt zu vergeben, ersetzt man zusätzlich
die links daneben stehende Ziffer (hier die "1") durch die
nachfolgende Ziffer, (die "2") und erhält:
"... 000020" - "zwanzig"
"... 000021" - "einundzwanzig"
usw. bis
"... 000099" - "neunundneunzig".
Da die Ziffern damit aufgebraucht sind, beginnt man wieder mit der Ziffer "0".
Da bei der links daneben stehenden Ziffer ebenfalls die "9" erreicht ist, fängt man
auch hier wieder mit der "0" an. Zusätzlich ersetzt man die links daneben
stehende Ziffer (hier die "0") durch die nachfolgende Ziffer (die "1") und
erhält:
"... 0000100" - "einhundert" (Hier wurden also gleich drei Ziffern verändert)
"... 0000101" - "einhunderteins"
usw. bis
"... 0000999" - "neunhundertneunundneunzig
"... 00001000" - "eintausend"
"... 00001001" - "eintausendeins"
usw. usf.
Schließlich nimmt man noch eine Vereinfachung der Schreibweise vor, indem man
verabredet, dass eine 0-Ziffer in einer Zahl dann weggelassen werden darf, wenn links von ihr nur
weitere
0-Ziffern stehen. Die Null-Ziffern in der Zahl 00034 kann man also weglassen,
während die Null-Ziffern in der Zahl 30004 nicht weggelassen werden dürfen.
Man schreibt die Zahlen in Ziffernschrift also ohne vorangehende Nullen: "1", "2",
"3","4", "5", "6", "7", "8", "9", "10",
"11", "12", "13" usw.
Eine Ausnahme bildet die Zahl "Null". Hier lässt man eine 0-Ziffer stehen als Zeichen dafür, dass hier gezählt wurde
aber kein Element da war, das man hätte zählen können. Eine bloße Leerstelle könnte man auch so
verstehen, dass hier noch gar nicht gezählt (oder gerechnet) wurde. Die Zahl "Null" wird also als
"0" geschrieben.
Genau genommen gehört das Zählen nicht zur Mathematik. In der
Mathematik setzt man voraus, dass die Zahlen, mit denen gerechnet wird, stimmen
und auf methodisch richtigen Zählungen beruhen.
Die Mathematik entwickelt zwar geeignete Zahlensysteme, sie beantwortet jedoch
nicht die Frage, wie viele Brötchen in dieser weißen Tüte sind und wie
viele Brötchen in dieser roten Tüte sind. Dazu muss man seine fünf Sinne
gebrauchen und die Brötchen in den Tüten zählen.
(Wenn man allerdings wissen will, wie viele Brötchen in beiden Tüten insgesamt
sind, so kann die Mathematik es einem ersparen, die Brötchen aus beiden Tüten
auf einen Haufen zu tun und den ganzen Haufen zu zählen.)
Das Zählen gehört zu den elementarsten Methoden der Erkenntnis über die
Beschaffenheit der Welt. Wenn man Dinge als in einer bestimmten Weise als gleichartig erkennt und mit demselben sprachlichen Ausdruck beschreiben kann, wenn man also sieht: "Hier ist ein
Finger und daneben ist noch ein Finger und daneben noch einer", dann entsteht
die Frage: "Wie viele ... sind es?"
Die richtige Beantwortung solcher Fragen nach der Anzahl bestimmter Elemente
kann von größter Wichtigkeit sein: "Wie viele Schritte muss ich noch machen, bis
ich zu Hause bin?", "Wie viele Tage dauert es, bis die Ferien beginnen?", "Wie
viele Personen passen in dies Auto?", "Wie viele Stunden muss ich noch
arbeiten?", "Wie viele Orangen bekomme ich für diese Geldmünze?", "Wie viele
Stimmen hat dieser Kandidat bekommen?" Die Antworten auf all diese Fragen
werden mit Hilfe von Zahlen gegeben, die eine bestimmte Anzahl von Elementen
einer Menge bezeichnen.
Zahlen sind das Ergebnis von Zählungen.
Wenn man wissen will, wie viele Elemente einer
bestimmten Art eine bestimmte Menge enthält, z. B.
wie viele Blütenblätter diese Margeritenblüte hat oder
wie viele Margeritenblüten an diesem Strauß sind, so
muss man die betreffenden Elemente zählen.
Dabei müssen die Dinge, die man zählt, nicht in vielfacher Hinsicht oder gar in
jeder Hinsicht gleichartig
sein, so wie z.B. 1-Euro-Münzen oder Hühnereier. Um zählbare Elemente einer
Menge zu sein, genügt es, wenn sie sich in einer Hinsicht gleichen. Man kann z.
B. auch zählen: "alle Geschenke, die Steffi zum Geburtstag bekommen hat". Ob
Fahrrad oder Torte, jedes von beiden ist ein Element derselben Menge.
Das richtige Zählen ist eine Fähigkeit, die bestimmte Kenntnisse voraussetzt und
die Einhaltung bestimmter Regeln erfordert. Das Zählverfahren muss so beschaffen
sein, dass das Ergebnis das gleiche bleibt, wenn eine Person mehrere Male
nacheinander dieselben Elemente derselben unveränderten Menge zählt. Es muss vor allem
dasselbe Ergebnis herauskommen, wenn verschiedene Personen dieselben Elemente
derselben Menge zählen. Anders ausgedrückt: Das Zählverfahren muss intertemporal
und intersubjektiv übereinstimmende Ergebnisse liefern.
Wichtigste Voraussetzung für die Fähigkeit des Zählens ist die Kenntnis der
Zahlen sowie die Kenntnis ihrer Reihenfolge nach Größe geordnet.
Diese Reihenfolge wird durch Übereinkunft (Konvention) festgelegt.
So gilt in dem bei uns gebräuchlichen Zahlensystem, dass die "2" nach der "1"
und vor der "3" steht. Es könnte
theoretisch allerdings
auch umgekehrt sein. Wenn jedoch einmal die "3" als die nach der "2" folgende Zahl
vereinbart wurde, muss diese Reihenfolge unbedingt
eingehalten werden.
Wie zählt man?
Man könnte versuchen, die Anzahl der Elemente einer Menge (z. B. Blütenblätter an einer Blüte)
dadurch zu bestimmen, dass man ein Blütenblatt nach dem andern abreißt
und dazu sagt: "Ein Blütenblatt - und noch ein Blütenblatt - und noch
ein Blütenblatt" - und so weiter, bis man alle Blütenblätter abgerissen hat. Auf
diese Weise bekommt man vielleicht eine Ahnung von der Anzahl der Elemente
("sehr viele" oder "wenige"), man
bekommt jedoch kein genaues Ergebnis hinsichtlich der Anzahl der Elemente dieser
bestimmten Menge.
Man zählt die Blütenblätter, indem man jedem Blütenblatt ein bestimmtes Zahlwort zuordnet.
Ausgehend von der "0" beginnt man mit der "1" für das erste Blütenblatt und
setzt den Zählvorgang fort mit der "2". Wichtig ist die Einhaltung der
vereinbarten Reihenfolge der Zahlen.
Es gelten beim Zählen die folgenden Regeln:
-
Man darf kein Blütenblatt auslassen sondern muss immer das folgende nehmen.
-
Man darf jedem Blütenblatt nur einmal eine Zahl zuordnen und nicht mehrfach.
-
Man darf keine Zahl auslassen sondern muss immer die unmittelbar folgende Zahl nehmen.
-
Man darf jede Zahl nur einmal
vergeben, also nicht mehrfach an verschiedene Elemente.
Wenn man beim Zählen diese Regeln einhält, so benennt die Zahl, die man dem letzten
Blütenblatt zuordnet, zugleich die Anzahl der Blütenblätter an der Margeritenblüte.
Wenn man jedoch eine der genannten Regeln nicht einhält, "verzählt" man sich und die
Frage: "Wie viele Blütenblätter sind an dieser
Blüte?" wird falsch beantwortet.
Um diese Regeln verstehen und befolgen zu können, muss man verschiedene
Fähigkeiten bzw. Kenntnisse besitzen.
- Man muss die Bedeutung der Wörter "Margeritenblüte" und "Blütenblatt"
kennen und die Margeritenblüte sowie die Blütenblätter als solche erkennen.
- Man muss wissen, was der Ausdruck "dasselbe Blütenblatt" bedeutet
(Identität)
- Man muss wissen, was der Ausdruck "ein Blütenblatt" bedeutet (ein
Exemplar einer Klasse
gleichartiger Objekten).
Zählen und Messen
Viele Dinge lassen sich
ohne Schwierigkeiten zählen: Menschen, Autos, die Schläge der Turmuhr und
anderes mehr. Viele Dinge lassen sich auf den ersten Anhieb gar nicht zählen, weil
keine abgrenzbaren Elemente vorhanden sind. Dies zeigt sich meist bereits daran,
dass man von den zugehörigen Wörtern keine Einzahl und keine Mehrzahl bilden
kann. Man kann z. B. nicht sagen: "ein Sand" oder "viele Schnees".
Aber auch bei diesen Dingen gibt es Größenverhältnisse, denn man kann sagen:
"viel Sand" oder "wenig Sand", "mehr Schnee" oder "weniger Schnee", "etwas
Schnee" oder "kein Schnee". Diese Ausdrucksweisen sind jedoch verhältnismäßig
ungenau. Um ein praktisches Beispiel zu nennen: Angenommen, ich habe ein Fass
Bier. Ich möchte nun wissen, ob sich darin genügend Bier befindet, um für jeden
meiner 20 Gäste das Bierglas zu füllen. Um diese Frage zu beantworten, genügt es
nicht zu sagen: "In dem Fass ist viel Bier" und "In ein Glas geht wenig Bier."
In diesem Fall muss ich versuchen, eine Einheit zu finden, in der ich die genaue
Größe von Mengen an Bier bestimmen kann. Dann kann ich die Ergebnisse der
Mathematik auch diesen Bereich anwenden.
Man könnte z. B. als Einheit, in der man die Größe von Biermengen bestimmt, den
Inhalt eines bis an den Rand gefüllten bestimmtem Bierglases nehmen. Die gesamte Biermenge ergibt
sich nun daraus, wie oft dieses Glas mit dem Bier aus dem Fass randvoll gefüllt werden kann.
Diese Anzahl kann man zählen und erhält als Ergebnis eine bestimmte Zahl, z. B.:
"Im Fass befindet sich Bier in einer Menge von 60 randvollen Gläsern dieser
Art."
In diesem Fall hat man als Maß eine Volumeneinheit gewählt.
Man könnte jedoch auch anders vorgehen und eine Gewichtseinheit für das Bier
bestimmen, z. B. Kilogramm, und zählen, wie oft man mit dem Bier aus dem Fass
das Gefäß mit einem Kilogramm Bier füllen kann.
Wenn die Einheiten nicht von Natur aus als abgegrenzte Gegenstände vorliegen,
sondern - wie beim Bier - eine Einheit erst künstlich gebildet werden muss, kann
es vorkommen, dass bei der Zählung der Biereinheiten ein Rest Bier übrigbleibt,
der keine volle Einheit mehr ergibt. Wenn man auch die Größe des Restes
bestimmen will, benötigt man neben den ganzen Zahlen allerdings auch Brüche (z.
B. 7/9) oder Dezimalzahlen mit Stellen hinter dem Komma
(z. B. 0,953). Man benötigt dazu außerdem besondere Messgeräte und spricht dann nicht
mehr vom "Zählen", sondern vom "Messen". Man sagt: "Ich zähle die Äpfel" aber
man sagt: "Ich messe das Gewicht der Äpfel mit der Waage".
Messergebnisse lassen sich wie die Ergebnisse von Zählungen in Zahlen
ausdrücken.
Durch die Erfindung geeigneter Einheiten und Messverfahren konnte man auch
solche Bereiche der Wirklichkeit zählen oder messen, die auf den ersten Blick
dafür gar nicht geeignet schienen und als "qualitativ" angesehen wurden. Durch
die "Quantifizierung" eines Bereiches, d. h. durch dessen Beschreibung unter
Benutzung von Messdaten in Form von Zahlen, wird es nun möglich, auch auf diesen
Bereich mathematische Modelle und elektronische Rechner anzuwenden. Bereiche der
Realität, die man früher für rein "qualitativ" hielt, wie Farben oder Töne,
können durch "Digitalisierung", also durch die Umsetzung in das binäre
Zahlensystem, exakt beschrieben und als Daten wie andere auch gespeichert
werden.
Allerdings gibt es auch eine missbräuchliche Verwendung von Zahlen, nur um
Exaktheit und Wissenschaftlichkeit vorzutäuschen. Dies gilt z. B. für Teile der
Astrologie.
Mit Zahlen kann man nicht nur rechnen, man kann sie auch als Namen verwenden.
Angenommen, eine Stadt hat viele Straßenbäume, die vom städtischen Gartenbauamt
betreut werden: Sie werden geschnitten, gewässert, auf Standsicherheit
untersucht, gepflanzt und gefällt. Wenn man mit jemandem über einen bestimmten
Baum spricht, der wegen einer Pilzerkrankung gefällt werden muss, so muss der
andere wissen, von welchem Baum die Rede ist. Um dies zu ermöglichen, kann man
jedem Baum einen Namen geben. Damit es zu keinen Verwechslungen kommt, darf
jeder Name aber nur einmal vergeben werden. Hier bietet sich die Zahlenfolge an,
denn jede Zahl ist darin nur einmal enthalten. Wenn man nacheinander jedem Baum eine Zahl als
Namen gibt, d.h. wenn man die Bäume durchnummeriert, kann man sicher sein, dass jeder Name nur einmal vergeben
wurde und jeder Baum einen eigenen Namen hat.
Ein anderes Beispiel für die Funktion der Zahlen als Namen sind die Kundennummern einer Firma.
Die Zahlenfolge als universell einsetzbares Ordnungsprinzip
Die Zahlen des
Dezimalsystems stehen in einer
bestimmten unveränderlichen Reihenfolge, wenn man sie
der Größe nach ordnet. Diese Reihenfolge kennt wohl jeder, der zur Schule gegangen ist.
Er weiß z. B., dass auf die "17" immer die "18" folgt. Diese
feste Anordnung der Zahlen ermöglicht ein schnelles
Auffinden jeder Zahl. Wenn man z. B. unter 100 Zahlen
die "78" heraussuchen soll, so macht es einen großen
Unterschied, ob die Zahlen geordnet sind oder nicht.
Im Folgenden ist einmal eine ungeordnete Zahlenmenge wiedergegeben und
einmal eine geordnete.
Ungeordnete Zahlenmenge:
32,71,42,45,05,52,67,10,70,81,94,91,44,53,16,48,54,31,74,86,58,87,96,25,30,25,49,62,75,68,
02,61,93,35,66,41,73,97,45,77,82,14,55,88,19,43,79,85,99,63,13,03,80,46,95,56,21,51,28,15,
92,78,36,33,65,83,50,09,18,12,06,24,20,37,38,07,64,27,08,89,60,23,57,84,100,76,40,01,39,47,
72,11,59,98,34,04,29,17,90,00,22,69.
Geordnete Zahlenmenge:
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,
30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,
60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,
90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100.
Während man bei der geordneten Menge nur eine Sekunde
benötigt, um die '78' zu finden, kann dies bei der
ungeordneten Menge 20 Sekunden und mehr dauern.
Diese nützliche Eigenschaft der Zahlenfolge kann man nun auf
beliebige Dinge übertragen, indem man den einzelnen
Elementen der Menge Zahlen zuordnet, sie also durchnummeriert
(lateinisch numero = Zahl).
Um die einzelnen Häuser in einer Straße schneller zu
finden, gibt man den Häusern Nummern entsprechend ihrer
räumlichen Anordnung entlang der Straße. Wenn ich z. B.
das Haus Müllerstr.15 suche, und stehe gerade vor dem
Haus Nr.10, dann weiß ich, dass ich in Richtung des
Hauses Nr.11 gehen muss, um das Haus Nr.15 zu finden.
Im
New Yorker Stadtteil Manhattan gibt es ein Viertel,
in dem die Straßen und die Querstraßen durchnummeriert
sind. Dadurch kann auch ein Ortsfremder rasch
das Geschäft an der Fifth Avenue /Ecke East 14th
Street finden.
Zahlen für die Festlegung und Einhaltung einer bestimmten Ordnung
Bei beweglichen Elementen
kann man die Zahlenfolge auch dazu benutzen, eine bestimmte Anordnung der
Elemente festzulegen und einzuhalten. Dazu nummeriert man sowohl die Plätze für
die einzelnen Elemente wie auch die zugehörigen Elemente selber.
Ein Beispiel hierfür ist ein großes Schlüsselbrett, an
dem 100 verschiedene Schlüssel hängen. Wenn die Haken
entsprechend der Zahlenfolge durchnummeriert sind und
wenn die einzelnen Schlüssel ebenfalls nummeriert sind,
weiß man schnell, wo ein Schlüssel nach Gebrauch
aufzuhängen ist und wo er wieder zu finden ist, wenn man
ihn braucht.
Zahlen zur Beschreibung einer Reihenfolge
Man kann Zahlen auch dazu benutzen, eine bestimmte Reihenfolge festzuhalten. Bei einem Wettlauf bekommen die Läufer eine Zahl zugeordnet entsprechend der Reihenfolge ihres Eintreffens im Ziel. Man sagt dann nicht: Paul ist die 1, Heinz ist die 2, Georg ist die 3 usw., sondern man sagt: Paul ist der 1., Heinz ist der 2. und Georg ist der 3. Läufer, der am Ziel eingetroffen ist. Diese Zahlen, die zur besseren Unterscheidung mit einem nachstehenden Punkt versehen werden, beschreiben eine bestimmte Reihenfolge. In unserm Fall geben sie die Reihenfolge an, in der die Läufer am Ziel eingetroffen sind. Solche Zahlen nennt man "Ordinalzahlen" (von lateinisch ordo = Reihe, Ordnung). Die normalen Zahlen, die die Anzahl der Elemente von Mengen angeben, nennt man "Kardinalzahlen" (von lateinisch cardinalis = wichtig, Haupt- ).
Zahlen und mathematische Operationen sind theoretische Konstruktionen. Sie
beziehen sich auf eine irgendwelche mögliche Einheiten. Aber weil die Welt nicht das unterschiedslose Eine ist, sondern aus
dauerhaften und abzählbaren Objekte besteht
("Hier ist ein Apfel, da ist noch ein Apfel ..."), lassen sich die mathematischen Einheiten empirisch
interpretieren (z. B. als Äpfel). pfel).
Das Großartige an der Mathematik ist , dass sie anhand abstrakter
Einheiten Modelle entwickelt und verschiedenste Umformungen und Operationen "durchrechnet". Wenn
nun ein Bereich der Wirklichkeit im Sinne eines mathematischen Modells
interpretiert werden kann, dann können all diese Ergebnisse für diesen Bereich übernommen werden.
Eine geniale Erfindung!
Siehe auch
die folgenden thematisch verwandten Texte in der Ethik-Werkstatt:
Inwiefern ist "1 + 1 = 2" wahr?
(PhilTalk-Diskussion)
Kants Konzeption synthetischer Urteile a
priori *** (42 K)
***
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Letzte Bearbeitung 01.06.2010 / Eberhard Wesche
Wer diese Website interessant findet, den bitte ich,
auch Freunde und Kollegen auf die Ethik-Werkstatt hinzuweisen